ഗണിതം 3

വിസ്തീർണ്ണവും വ്യാപ്തിയും :

ഒരു ചതുരത്തിന്റെ നീളം "l" യൂണിറ്റും വീതി "b" യൂണിറ്റും ആയാൽ വിസ്തീർണ്ണം: l x b 

ചുറ്റളവ് : 2 (l+b)

ഒരു സമചതുരത്തിൻറെ വശം "a" യൂണിറ്റായാൽ വിസ്തീർണ്ണം : a²

ചുറ്റളവ് : 4a 

വികർണ്ണം (d) : √2 a 

വികർണ്ണം d ആയാൽ വിസ്തീർണ്ണം :1\2 x d²

ഒരു ത്രികോണത്തിൻറെ ഒരു വശത്തിന്റെ നീളം "a" യൂണിറ്റും ആ വശത്തേക്കുള്ള ഉയരം "h" യൂണിറ്റുമായാൽ വിസ്തീർണ്ണം : 1\2 x a x h

മൂന്ന് വശങ്ങൾ (a, b, c) തന്നിരുന്നാൽ വിസ്തീർണ്ണം : √ (s(s-a)(s-b)(s-c))

s=(a+b+c)\2

ഒരു മട്ടത്രികോണത്തിൻറെ ലംബ വശങ്ങൾ b, h എന്നിവ ആയാൽ വിസ്തീർണ്ണം : 1\2 x b x h

പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തം : കർണ്ണം²=പാദം²+ലംബം  ²  

ഒരു വൃത്തത്തിൻറെ ആരം "r" യൂണിറ്റായാൽ ചുറ്റളവ് : 2πr 

വിസ്തീർണ്ണം : πr²

ഒരു വശത്തിന്റെ നീളം a യൂണിറ്റായ ക്യൂബിൻറെ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം : 6a²

r യൂണിറ്റ് ആരമുള്ള ഗോളത്തിൻറെ ഉപരിതലവിസ്തീർണ്ണം : 4πr²

അർദ്ധ ഗോളത്തിൻറെ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം : 3πr²

സമഭുജ ത്രികോണത്തിൻറെ ഒരു വശം a ആയാൽ ചുറ്റളവ് : 3a 

വിസ്തീർണ്ണം : (√3 x a²)\4 

ഒരു സാമാന്തരികത്തിൻറെ പാദം b യും ഉയരം h ഉം ആയാൽ വിസ്തീർണ്ണം: bh 

ഒരു ചതുരക്കട്ടയുടെ ഉയരം h യൂണിറ്റ് ആയാൽ വ്യാപ്തം : b x h x l 

ക്യൂബിൻറെ വ്യാപ്തം : a³

സിലിണ്ടറിൻറെ വ്യാപ്തം : πr²h 

ഗോളത്തിന്റെ വ്യാപ്തം : 4\3 πr³

അർദ്ധഗോളത്തിന്റെ വ്യാപ്തം : 2\3 πr³

സമചതുര സ്തൂപികയുടെ വ്യാപ്തം : 1\3 a²h

വൃത്ത സ്തൂപികയുടെ വ്യാപ്തം : 1\3 πr²h 

ഉദാ: 

1) ഒരു ചതുരത്തിൻറെ നീളം വീതിയേക്കാൾ 3 സെ മീ കൂടുതലാണ്. അതിൻറെ ചുറ്റളവ് 26 സെ മീ ആയാൽ നീളം എത്ര? (LDC Trivandrum 2014)

a) 5 സെ മീ  b) 8 സെ മീ     c) 6 സെ മീ  d) 7 സെ മീ

Ans : b) 8 സെ മീ

ചതുരത്തിൻറെ നീളം l ഉം വീതി b യും ആയാൽ l = b + 3 

ചുറ്റളവ് : 2(l+b) = 26

2 ( b+3+b) = 26

2 (2b+3) =26

4b+6=26

4b=26-6=20

b=20\4=5 സെ മീ

നീളം l = 5 + 3 = 8 സെ മീ

2) ഒരു ഗോളത്തിൻറെ ആരം ഇരട്ടിയായാൽ വ്യാപ്തം എത്ര മടങ്ങ് വർദ്ധിക്കും? (LDC Kollam 2014)
a) 2   b) 6    c) 4   d) 8
Ans : d) 8
ത്രിമാന രൂപത്തിൻറെ അളവ് എത്ര മടങ്ങ് വർദ്ധിക്കുന്നോ അതിൻറെ വ്യാപ്തം ക്യൂബ് തവണ വർദ്ധിക്കും. ഇവിടെ ആരം ഇരട്ടി ആകുന്നതിനാൽ വ്യാപ്തം 2³ =  8 

3) ABCD എന്ന സമചതുരത്തിൻറെ വശത്തിന്റെ മധ്യബിന്ദുക്കൾ യഥാക്രമം P, Q,R,S എന്നിവയാണ്. PQRS സമചതുരത്തിൻറെ വശങ്ങളുടെ മധ്യബിന്ദുക്കൾ M,N,O,P എന്നിവയാണ്.MNOP യുടെ ചുറ്റളവ് 16 സെ മി ആയാൽ ABCD യുടെ ചുറ്റളവ് എത്ര? (LDC Palakkad 2014)
a) 32   b) 48    c) 64   d) 16
Ans : a) 32
MNOP സമചതുരത്തിൻറെ ചുറ്റളവ് : 16 സെ മി 
ഒരു വശത്തിന്റെ നീളം MN = 4 സെ മി 
MNOP യുടെ വികർണ്ണത്തിന്റെ നീളം = 4 x √2

PQRS ൻറെ ഒരു വശത്തിന്റെ നീളം=MNOP യുടെ വികർണ്ണത്തിൻറെ നീളം 
PQRS ൻറെ വികർണ്ണത്തിൻറെ നീളം = ABCD യുടെ ഒരു വശത്തിന്റെ നീളം
PQRS ൻറെ വികർണ്ണത്തിൻറെ നീളം = (4 x √2) x√2 
                                                                    = 4 x 2 =8 സെ മി 
ABCD യുടെ ചുറ്റളവ് = 4 x 8 = 32 സെ മി 

സമയവും പ്രവൃത്തിയും : 

A ഒരു ജോലി x ദിവസങ്ങൾ കൊണ്ടും B അതേ ജോലി y ദിവസം കൊണ്ടും ചെയ്താൽ രണ്ടുപേരും ചേർന്ന് xy\x+y ദിവസം കൊണ്ട് ചെയ്ത് തീർക്കും.

M1 ആളുകൾ D1 ദിവസം കൊണ്ട് പൂർത്തിയാക്കുന്ന ജോലി M2 ആളുകൾ D2 ദിവസം കൊണ്ട് പൂർത്തിയാക്കുന്നു എങ്കിൽ M1D1 = M2D2 ആയിരിക്കും.

ഒരാൾ x ദിവസം കൊണ്ടും മറ്റൊരാൾ y ദിവസം കൊണ്ടും മൂന്നാമതൊരാൾ z ദിവസം കൊണ്ടും ചെയ്തു തീർക്കുന്നു എങ്കിൽ അവർ മൂവരും ചേർന്ന് ആ ജോലി തീർക്കാൻ xyz\(xy+yz+xz) ദിവസം എടുക്കുന്നു.

A യും B യും ഒരു ജോലി x ദിവസം കൊണ്ടും B യും C യും ആ ജോലി y ദിവസം കൊണ്ടും A യും C യും ആ ജോലി z ദിവസം കൊണ്ടും തീർക്കുന്നു എങ്കിൽ മൂന്നുപേരും ഒരുമിച്ച് ആ ജോലി 2xyz\(xy+yz+xz) ദിവസം കൊണ്ട് ചെയ്തു തീർക്കും.

A, B എന്നിവർ ഒരു ജോലി x ദിവസം കൊണ്ടും A ഒറ്റയ്ക്ക് അത് y ദിവസം കൊണ്ടും ചെയ്താൽ B ഒറ്റയ്ക്ക് ആ ജോലി xy\y-x ദിവസം കൊണ്ട് ചെയ്ത് തീർക്കും.

ഉദാ:

1) ഒരു ജോലി ചെയ്തു തീർക്കാൻ A യ്ക്ക് രണ്ടു ദിവസം, B യ്ക്ക് മൂന്നു ദിവസം, C യ്ക്ക് ആറ് ദിവസം എന്നിങ്ങനെ വേണം. അതേ ജോലി അവർ മൂന്ന് പേരും കൂടെ ഒരുമിച്ച് ചെയ്താൽ എത്ര ദിവസം കൊണ്ട് തീരും? (LDC Palakkad 2014)

a) 11   b) 1   c) 10   d) 5

Ans : b) 1

xyz\(xy+yz+xz) = 2x3x6\(2x3+3x6+6x2)

                         = 36\(6+18+12)

                         = 36\36=1

അല്ലെങ്കിൽ താഴെ പറയുന്ന രീതിയിലും ചെയ്യാവുന്നതാണ്.

A  യുടെ ഒരു ദിവസത്തെ ജോലി =1\2 

B  യുടെ ഒരു ദിവസത്തെ ജോലി =1\3 

C  യുടെ ഒരു ദിവസത്തെ ജോലി =1\6 

ഒരുമിച്ചുള്ള ഒരു ദിവസത്തെ ജോലി = 1\2+1\3+1\6

                                                                     = (3+2+1)\6

                                                                     = 6\6 = 1

2) A യും B യും കൂടി ഒരു ജോലി 6 ദിവസം കൊണ്ട് തീർക്കും. A ഒറ്റയ്ക്ക് 10 ദിവസമെടുക്കുന്ന ആ ജോലി B ഒറ്റയ്ക്ക് ചെയ്താൽ എത്ര ദിവസം എടുക്കും? (LDC Kozhikkod 2014)

a) 18   b) 16   c) 4  d) 15
Ans : d) 15
xy\y-x = 6x10\(10-6)
          = 60\4
          = 15 
                                                                                                                     (തുടരും)